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发表于2024-04-29
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评分庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域,最重要的工作是在分析学方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论(1878)。他引进了富克斯群和克莱因群,构造了更一般的基本域。他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数,并发现这种函数作为代数函数的单值化函数的效用。1883年,庞加莱提出了一般的单值化定理(1907年,他和克贝相互独立地给出完全的证明)。同年,他进而研究一般解析函数论,研究了整函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝对值的增长率之间的关系,它同皮卡定理构成后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。他又是多复变函数论的先驱者之一。庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题,在1881~1886年发表的四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中,创立了微分方程的定性理论。他研究了微分方程的解在四种类型的奇点(焦点、鞍点、结点、中心)附近的性态。他提出根据解对极限环(他求出的一种特殊的封闭曲线)的关系,可以判定解的稳定性。庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。1892年他发表了第一篇论文,1895~1904年,他在六篇论文中建立了组合拓扑学。他还引进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念,创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等工具,借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉—庞加莱公式,并证明流形的同调对偶定理。庞加莱的思想预示了德•拉姆定理和霍奇理论。他还提出庞加莱猜想,在“庞加莱的最后定理”中,他把限制性三体问题的周期解的存在问题,归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。庞加莱在数论和代数学方面的工作不多,但很有影响。他的《有理数域上的代数几何学》一书开创了丢番图方程的有理解的研究。他定义了曲线的秩数,成为丢番图几何的重要研究对象。他在代数学中引进群代数并证明其分解定理。第一次引进代数中的左理想和右理想的概念。证明了李代数第三基本定理及坎贝尔—豪斯多夫公式。还引进李代数的包络代数,并对其基加以描述,证明了庞加莱—伯克霍夫—维特定理。庞加莱对经典物理学有深入而广泛的研究,对狭义相对论的创立有贡献。他从1899年开始研究电子理论,首先认识到洛伦茨变换构成群(1904年),第二年爱因斯坦在创立狭义相对论的论文中也得出相同结果。庞加莱的哲学著作《科学与假设》、《科学的价值》、《科学与方法》也有着重大的影响。他是约定主义哲学的代表人物,认为科学公理是方便的定义或约定,可以在一切可能的约定中进行选择,但需以实验事实为依据,避开一切矛盾。在数学上,他不同意罗素、希尔伯特的观点,反对无穷集合的概念,赞成潜在的无穷,认为数学最基本的直观概念是自然数,反对把自然数归结为集合论。这使他成为直觉主义的先驱者之一。1905年,匈牙利科学院颁发一项奖金为10000金克朗的鲍尔约奖。这个奖是要奖给在过去25年为数学发展作出过最大贡献的数学家。由于庞加莱从1879年就开始从事数学研究,并在数学的几乎整个领域都作出了杰出贡献,因而此项奖又非他莫属。
评分作为科普或者数学读物还是不错的!
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评分好评咯好!
评分庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域,最重要的工作是在分析学方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论(1878)。他引进了富克斯群和克莱因群,构造了更一般的基本域。他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数,并发现这种函数作为代数函数的单值化函数的效用。1883年,庞加莱提出了一般的单值化定理(1907年,他和克贝相互独立地给出完全的证明)。同年,他进而研究一般解析函数论,研究了整函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝对值的增长率之间的关系,它同皮卡定理构成后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。他又是多复变函数论的先驱者之一。庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题,在1881~1886年发表的四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中,创立了微分方程的定性理论。他研究了微分方程的解在四种类型的奇点(焦点、鞍点、结点、中心)附近的性态。他提出根据解对极限环(他求出的一种特殊的封闭曲线)的关系,可以判定解的稳定性。庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。1892年他发表了第一篇论文,1895~1904年,他在六篇论文中建立了组合拓扑学。他还引进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念,创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等工具,借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉—庞加莱公式,并证明流形的同调对偶定理。庞加莱的思想预示了德•拉姆定理和霍奇理论。他还提出庞加莱猜想,在“庞加莱的最后定理”中,他把限制性三体问题的周期解的存在问题,归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。庞加莱在数论和代数学方面的工作不多,但很有影响。他的《有理数域上的代数几何学》一书开创了丢番图方程的有理解的研究。他定义了曲线的秩数,成为丢番图几何的重要研究对象。他在代数学中引进群代数并证明其分解定理。第一次引进代数中的左理想和右理想的概念。证明了李代数第三基本定理及坎贝尔—豪斯多夫公式。还引进李代数的包络代数,并对其基加以描述,证明了庞加莱—伯克霍夫—维特定理。庞加莱对经典物理学有深入而广泛的研究,对狭义相对论的创立有贡献。他从1899年开始研究电子理论,首先认识到洛伦茨变换构成群(1904年),第二年爱因斯坦在创立狭义相对论的论文中也得出相同结果。庞加莱的哲学著作《科学与假设》、《科学的价值》、《科学与方法》也有着重大的影响。他是约定主义哲学的代表人物,认为科学公理是方便的定义或约定,可以在一切可能的约定中进行选择,但需以实验事实为依据,避开一切矛盾。在数学上,他不同意罗素、希尔伯特的观点,反对无穷集合的概念,赞成潜在的无穷,认为数学最基本的直观概念是自然数,反对把自然数归结为集合论。这使他成为直觉主义的先驱者之一。1905年,匈牙利科学院颁发一项奖金为10000金克朗的鲍尔约奖。这个奖是要奖给在过去25年为数学发展作出过最大贡献的数学家。由于庞加莱从1879年就开始从事数学研究,并在数学的几乎整个领域都作出了杰出贡献,因而此项奖又非他莫属。
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